Példaértékű tudományos megközelítés II.

Amióta Ping-Win kiírta ezt a feladatot, naponta órákat töltök azzal, hogy egy kicsiny nyuszival ugrálok csengettyűkön. Úgy érzem, hogy ha már képes vagyok valamivel ennyit foglalkozni, tartozom annyival a tudománynak, hogy mindezt tudatosan tegyem. A trükk az, hogy már ha egészen apró mértékben is beleásunk ebbe a játékba, rögtön kiderül, hogy végtelenül perverz.

Valahogy az ember gondolkodásában benne van, hogy ha nekem van ezer pontom, a havernak meg kétezer, akkor ő biztos kétszer annyi havat lapátolt. Tehát valami lineáris kapcsolatot feltételezünk a teljesítmény és pontszám között. Hát, itt mocskosul nem így van.

Minden egyes harangocska, amire ráugrasz, valamennyi pontot ér. Az első tízet, a második húszat, a harmadik harmincat. Tehát, ha csak annyi lenne a dolgod, hogy elkapd a harangokat, akkor a pontszámod attól függően, hogy mennyi harangot kapsz el, valamiféle hatványfüggvény-szerűen nőne. Egészen konkrétan így:

 

 

No de ekkor jönnek a képbe a repkedő kis madárkák. Ha rájuk ugrasz, az egyből megkétszerezi a pontszámodat. Innentől kezdve átcsúsztunk exponenciálisba. Ez a függvény olyan gyorsan beleszalad a plafonba, hogy már esélyünk sincs lineáris skálán ábrázolni, úgyhogy nézzük meg logaritmikuson:

 

 

Elkezdjük szedegetni szépen lassan a harangokat, majd bumm, máris kétszer annyi pontunk van. A pontszám függvénye az elején hatványfüggvény, de az első madártól kezdve már egy exponenciális függvényként kezd nőni. Minél tovább megyünk, annál kevésbé számítanak a kis harangok, és annál inkább a madarak.

Na, hozzunk tudományt a dolgokba. Tegyük fel, hogy minden egyes lépésnél ugyanakkora eséllyel csesszük el a következő harang helyzetét. Ez azért nem teljesen igaz, mert az ember egyre fárad, és egyre idegesebb lesz – de később látni fogjuk, hogy ez az egész dolog jellegén csak erősít. Tehát legyen minden egyes lépésnél az elrontás esélye P.

Ha n darab ilyen kísérletet végzünk egymás után, akkor annak az értéke, hogy mikor rontjuk el először, egy geometriai eloszlást követő valószínűségi változó. (Éljen a valszám!) Tehát az, hogy egymás után k alkalommal eltaláljuk a kis harangot vagy repkedő madarat, annak a valószínűsége P*(1-P)^k. Egy alkalommal elrontjuk, előtte K alkalommal nem rontjuk el.

Innen már csak egy apró lépés kiszámolni egy kumulatív valószínűséget arra, hogy az egyes lépéseknél mennyi az esélye annak, hogy legalább azt a lépést teljesítjük. Ha mondjuk átlagosan minden 65 lépésből egyet elrontunk (én saját magamon ezt tapasztaltam), akkor a hibázás aránya 1,5385%. Annak a valószínűsége, hogy az első tíz harangot frankón eltaláljuk, 85 százalék. Annak a valószínűsége, hogy az első húszat is, az 73 százalék. Az első harmincnak 65 százalék, és így tovább.

Az előző modellünkből pedig meg tudjuk állapítani, hogy az egyes lépések konkrét pontszámban mennyit érnek. Ha összeeresztjük a kettőt, ezt tapasztaljuk:

 

 

Vegyük észre, hogy az X tengelyünk, amin a pontszámok vannak, itt logaritmikus. Ez a függvény olyan, hogy az adott pontszám elérésének valószínűsége az első pár száz pontnál iszonyatosan gyorsan esik, utána viszont a millióknál gyakorlatilag alig változik. A 10 pont és 30 pont elérésének esélye között másfél százalék különbség van. Ugyanennyi, másfél százalék a különbség az ötmillió és a negyvenkétmillió között. Érezzük?

És még egy érdekesség annak, aki elég fanatikus, hogy mindezt idáig végigolvassa. Ugye nem muszáj minden harangra ráugrani, elég minden másodikra. Ha feltételezzük, hogy minden második harang után kapsz csak pontot, az alábbi módon alakul az esélyed (rózsaszín vonal):

 

 

Vegyük észre, hogy az első madártól kezdve soha senkit nem érdekel, hogy hány harangot gyűjtesz. A két függvény pontosan ugyanúgy esik. Tehát nyugodtan hagyd őket a francba, onnantól kezdve a madárka a lényeg.

10 komment Szólj hozzá vagy trackbackelj ránk vissza

  • írta csigusz | 2008. december 14-én délelőtt | Link erre a kommentre

    az empirikus megfigyelesem nekem azt mondja, hogy az elso ket madarig kellenek a harangok, de addig sem trahedia ha kimarad..

    a valszamhoz nem ertek :)

     

  • írta eLevente | 2008. december 14-én délután | Link erre a kommentre

    A thread elolvasása közben arra a következtetésre jutottam, hogy te beteg vagy :)

    Mondjuk én is eléggé beleőrültem a játékba, viszont engem gyorsan fel tud idegesíteni annyira, hogy abbahagyjam, mert drága dolog egy laptop…

  • írta Megszunt_Felhasznalo | 2008. december 14-én este | Link erre a kommentre

    Ez olyan mint a Chucky baba csak az elmédet veszi át! De én megöltem ugyhogy nyugodt vagyok azthiszem!

  • írta kossuth | 2008. december 14-én este | Link erre a kommentre

    Amikor elolvastam, arra gondoltam, hogy de rohadtul ráérsz, bazeg. :)

  • írta anna | 2008. december 15-én délután | Link erre a kommentre

    Kossuth: vmi egeszen hasonlo merult fel bennem is. nem uj erzes. :D

  • írta kalapos | 2008. december 15-én délután | Link erre a kommentre

    Hülye állat :D

  • írta Malyer | 2008. december 15-én este | Link erre a kommentre

    Hát reálos bazmeg mitvártál he? REÁLOS ÉRTED?
    Ti is csak a bölcsészlányok megdugásához meg a matekhoz értetek :D

    Am respect ez tetszett.

  • írta Megszunt_Felhasznalo | 2008. december 16-án délután | Link erre a kommentre

    Tessék abbahagyni a nyuszizást !!

     

  • írta ping-win | 2008. december 17-én hajnalban | Link erre a kommentre

    és mennyi a maximálisan elérhető pont a statisztikák szerint? van határértke, ha az újabb k+1. ugrás teljesítésének  valószínűsége tart a nullához, vagy elszáll a végtelenbe?

  • írta edward | 2008. december 17-én hajnalban | Link erre a kommentre

    Az elméletem szerint végtelen, a gyakorlatban valószínűleg valamilyen korlátja csak van annak a változónak, amiben tárolják. Vagy a memóriának, ahol tárolódik :) Egy fórumon egyébként olvastam olyat, hogy valaki elért egy értéket, ami egy googolnál harminc nagyságrenddel volt több. Ha ez igaz, akkor valószínűleg nem longint a cucc. :)

Szólj hozzá  

Figyulim! Amit ide írsz, azért vállalod, hogy te vagy jogilag a felelős. Sajnos van olyan ember az interneten, aki képes érte beperelni. Ne árts.